ថ្ងៃដែលផ្លែប៉មធ្លាក់
នៅឆ្នំា១៦៨៧ អៃសាក់ ញូវតុន (Isaac Newton) បានបោះពុម្ពសៀវភៅមួយក្បាលដែលបានកែប្រែពិភពលោកទាំងមូល។ វាមានចំណងជើងថា Principia ។ រូបមន្តដ៏សាមញ្ញ F = ma ក្នុងសៀវភៅនេះបានពន្យល់ស្ទើរតែទាំងអស់ពីបាតុភូតធម្មជាតិរួមបញ្ចូលទាំង មូលហេតុដែលផ្លែប៉មធ្លាក់ពីដើមឈើ និងមូលហេតុដែលព្រះចន្ទវិលជុំវិញផែនដីផងដែរ។ ប៉ុន្តែសូម្បីតែញូវតុនខ្លួនឯងក៏ធ្លាប់គិតថា ពេលដែលបាតុភូតស្មុគស្មាញ ការគណនានឹងទៅជាពិបាកជាខ្លាំងដែឬ។
ព្រះអាទិទេពតែងតែខ្ចិល?
នៅអឺរ៉ុបក្នុងស.វទី១៨ តារាវិទូជាច្រើនបានគិតថាពេលចង់គណនាគន្លងនៃភពអង្គារ យើងចំបាច់ត្រូវគិតពីកម្លាំងទំនាញនៃភពពុធដែរ។ ក្រៅពីនេះវាមានឥទ្ធិពលនៃភពសៅរ៍ដែរ ភពព្រហស្បតិ៍….
រូបមន្តញូវតុនពិតជាត្រឹមត្រូវ។ ប៉ុន្តែនៅពេលដែលភពមានចាប់ពី៣ឡើងទៅ ការគណនានឹងទៅជាស្មុគស្មាញហើយចំណាយពេលច្រើន។ គេត្រូវបំបែកកម្លាំងទៅជាលើ ក្រោម ឆ្វេងស្តាំ ហើយបង្កើតសមីការ១០ ២០ដែលត្រូវដោះស្រាយ។
នៅឆ្នាំ១៧៤៤ គណិតវិទូ និងទស្សនវិទូ Pierre Louis Maupertuis បានពោលថាអាទិទេពជាសភាវល្អឥតខ្ចោះ។ ហេតុនេះហើយបានជានៅក្នុងបាតុភូតធម្មជាតិ ពេលព្រះអង្គត្រូវជ្រើសរើសបង្កើតអ្វីមួយទ្រង់តែងតែយកជម្រើសដែលអស់លុយតិច(ឬចំនេញច្រើន)។ គេបានហៅគំនិតនេះថា គោលការណ៍អំពើអប្បបរិមា(តិចបំផុត) (Principle of least action)។ ដូចជាគន្លងនៃបាល់បន្ទាប់ពីគប់ឡើងលើ។ វាជាខ្សែកោងមិនមែនជាខ្សែត្រង់ទេ។ ខ្សែកោងនេះជាជម្រើសដ៏មានប្រសិទ្ធភាពបំផុត។ ចំពោះបញ្ហាទាក់ទងនឹងរូបមន្តញូវតុនដូចដែលបានលើកឡើងខាងលើអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រជាច្រើនបានព្យាយាមរកវិធីងាយជាវិធីញូវតុនឲ្យសមតាមអ្វីដែលត្រូវនឹងគំនិតរបស់ព្រះអាទិទេព។
ដេរីវេអាំងតេក្រាលនៃបម្រែបម្រួល
ក្រោយមកគណិតវិទូ និងតារាវិទូស្វីសលោក អឺលែ(Leonhard Euler) បានគិតពីរឿងនេះហើយសួរខ្លួនឯងថាតើ ទ្រឹស្តីនេះអាចសរសេរជារូបមន្តគណិតវិទ្យាបានទេហ្ន!
ដោយការខិតខំប្រឹងប្រែង លោកបានបង្កើតក្បូនគណិតម្យ៉ាងហៅថា ដេរីវេអាំងតេក្រាលនៃបម្រែបម្រួល(Calculus of Variation)។ នេះជារបៀបសម្រាប់រកអនុគមន៍ដែលធ្វើឲ្យទំហំណាមួយមានតម្លៃអប្បបរមា។ ក្នុងសម័យនោះនេះជារឿងមួយថ្មីស្រឡាង។ ប៉ុន្តែមិនទាន់មានការអនុវត្តក្នុងរូបវិទ្យានៅឡើយទេ។
អឺលែបានបង្កើតក្បួនសម្រាប់ស្វែងរកអនុគមន៍ដែលធ្វើឲ្យអនុគមន៍បន្តាក់(functional)ទៅជាមានតម្លៃអប្បបរិមា។ សម្រាប់អនុគមន៍បន្តាក់ J[y]
អនុគមន៍បណ្តាក់ J[y] ជាអនុគន៍នៃអនុគមន៍ ដូចជាលេខដែលអាស្រ័យនឹងការជ្រើសរើសy(x) ។ វាប្រៀបដូចជា ថ្លៃ សរុបនៃខ្សែកោង y(x) ចន្លោះពី a ទៅ b
គោលដៅគឺដើម្បី រក y(x) ដែលធ្វើឲ្យ J[y] នឹង(បម្រែប្រួលរបស់វា δJ=0) ប្រៀបដូចជាដេរីវេស្មើសូន្យត្រង់កន្លែងអប្បបរិមា
L(x, y, y’) ជាអនុគមន៍ដែលអាស្រ័យនឹង x , អនុគមន៍ y(x) និង ដេរីវេ y’ របស់វា។ វាកំណត់ ថ្លៃ ត្រង់ចំណុចនីមួយៗ។
ក្នុងរូបមន្តខាងលើ តម្លៃសមីការស្មើសូន្យជារឿងចាំបាច់ដើម្បីធ្វើឲ្យ y(x) ជាចំណុចពិសេសនៃ J ។
ឧទាហរណ៍ រកខ្សែកោង y(x) ក្នុងចន្លោះ(0, 0) ទៅ (1,1 ) ដែលធ្វើឲ្យប្រវែងធ្នូ J[y] ខ្លីបំផុត
ដោយ L មិនអាស្រ័យនឹង y, ∂L/∂y = 0
ដោយ ∂L/∂y’ មិនអាស្រ័យនឹង x ដោយត្រង់ នោះ d/dx នៃ (∂L/∂y’ ) = 0
នេះបង្ហាញថារូបមន្តរបស់អឺលែប្រើសម្រាប់កំណត់ខ្សែកោង(ក្នុងឧទាហរណ៍ជាខ្សែត្រង់)ដែលធ្វើឲ្យអនុគមន៍បណ្តាក់មានតម្លៃតិចបំផុត។
អ្នកប្រាជ្ញមិនសូវមាត់កម្នាក់
Joseph-Louis Lagrange (ឡាក្រង់) កើតនៅ Turin ប្រទេសអ៊ីតាលីក្នុងឆ្នាំ១៧៣៦។ អាយុ១៩ឆ្នាំក្លាយជាសាស្ត្រាចារ្យសាលាទាហាននៅ Turin ។ គាត់ជាមនុស្សមិនសូវមាត់កទេ មិនសូវចេះនិយាយស្តីជាមួយគេទេ ។ ពេលបង្រៀនសម្លឹងតែក្តារខៀនហើយនិយាយតិចៗ រហូតដល់សិស្សរអ៊ូថាស្តាប់អត់ឮក៏មានដែរ។
យ៉ាងណាក៏ដោយគេមិនអាចបដិសេដទេពកោសល្យខាងគណិតវិទ្យារបស់គាត់បាននោះទេ។ គាត់ពូកែរហូតដល់ទទួលបានការអញ្ជើញជាផ្លូវការអំពីព្រះមហាក្សត្រ Friendrich 2 នៃប្រទេសអាល្លឺម៉ង់ទៀតផង។
ឡាក្រង់មានសេចក្តីប្រាថ្នាមួយគឺគាត់ចង់បង្កើត មេកានិចដែលមិនប្រើកម្លាំង។ ហេតុអ្វី? រូបមន្តញូតុនផ្អែកលើ កម្លាំង ទាំងស្រុង។ សំណួរគឺថាតើកម្លាំងគឺជាអ្វី? តើកម្លាំងពិតជាទំហំមូលដ្ឋានដែលមិនអាចបំបែកតទៀតឬយ៉ាងណា? គាត់ គិតថា មិនមែនកម្លាំងទេ! ថាមពលពិតជាទំហំមូលដ្ឋានដែលគួរយកមកប្រើ!
បដិវត្តន៍ឆ្នាំ១៧៨៨
ត្រឹមអាយុ៥២ឆ្នាំ ឡាងក្រង់បានប្រើប្រាស់ពេលពេញមួយជីវិត សរសេរបញ្ចប់សៀវភៅដ៏ល្បីមួយឈ្មោះ មេកានិចវិភាគដែលត្រូវបានបោះពុម្ភក្នុងឆ្នាំ១៧៨៨។ ក្នុងសៀវភៅនេះរូបមន្តដែលសំខាន់ជាងគេគឺ
L = ទំហំឡាក្រង់ , T = ថាមពលស៊ីនេទិច(ថាមពេលធ្វើចលនា) , V = ថាមពលប៉ូតង់ស្យែល (ថាមពលអាស្រ័យនឹងទីតាំង)
ឡាក្រង់បានទាញរកសមីការចលនាតាមរយ L ទៅជា
គេស្គាល់ជាទូទៅថាជាសមីការឡាក្រង់ ឬសមីការអឺលែឡាក្រង់ព្រោះអ្នកប្រើប្រាស់ទម្រង់នេះដំបូងគេគឺគណិតវិទូអឺលែដូចដែលមានរៀបរាប់នៅខាងលើ។ ចំណុចខុសគ្នាគឺថាអឺលែបង្កើតក្បួនគណិតវិទ្យាសុទ្ធសាធ ចំណែកឡាក្រង់ប្រើប្រាស់គណិតវិទ្យានោះសម្រាប់រូបវិទ្យា។
អត្ថន័យនៃផ្នែកនីមួយ
យើងសម្រួលសមីការឡាក្រង់នឹងទៅជា
នេះមានន័យថា អត្រាបម្រែបម្រួលបរិមាណចលនា = កម្លាំង
ហេតុនេះសមីការអឺលែគឺជាការសរសេររូបមន្តញូវតុន F = ma ក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេណរម៉ាល់ណាមួយ។
ភាពអស្ចារ្យនៃរូបមន្តនេះគឺវាអាចប្រើបានចំពោះគ្រប់ប្រព័ន្ធកូអរដោណេមិនថា ដេកាត ប៉ូលែ ឬស្វ៊ែនោះទេ។ យើងគ្រាន់តែជ្រើសរើសយកកូអរដោណេដែលត្រូវនឹងបាតុភូត ហើយធ្វើការគណនាដោយស្វ័យប្រវត្តិ។ ដូចឡាក្រង់បានពោលអួតប្រាប់គេថា សៀវភៅនេះគ្មានរូបសូម្បីតែមួយ គ្រប់យ៉ាងគ្រាន់តែជាការជំនួសពិជគណិតប៉ុណ្ណោះ។
ហេតុអ្វីបានជា T-V?
សមីការអឺលែឡាក្រង់ត្រូវបានបង្កើតឡើងដើម្បីពណ៌នាពីរបៀបដែលប្រព័ន្ធធ្វើចលនាដោយរកផ្លូវដែលធ្វើឲ្យអំពើទៅជាតូចបំផុត(ឬនឹង)
ត្រង់នេះសញ្ញាដកបញ្ជាក់ថាកម្លាំងមានទំនាក់ទំនងនឹងថាមពលប៉ូតង់ស្យែល
ឧទាហរណ៍ករណីរូបធាតុធ្វើចលនាចុះពីជម្រាលភ្នំ
សញ្ញាដកបង្ហាញថាកម្លាំងព្យាយាមធ្វើឲ្យអង្គធាតុមានចលនាឆ្ពោះទៅទីតាំងប៉ូតង់ស្យែលទាប។
ក្នុងច្បាប់ញូវតុន
សមីការអឺលែឡាក្រង់ក៏ត្រូវតែផ្តល់លទ្ធផលដូចគ្នាដែរ
ដែលមានន័យថាកម្លាំងរុញអង្គធាតុឡើងលើក្នុងទិសប៉ូតង់ស្យែលខ្ពស់ដែលមិនមែនជាការពិតតាមធម្មជាតិនោះទេ។
សរុបមក L = T-V មានន័យថាកម្លាំងតែងមានអំពើធ្វើឲ្យថាមពលប៉ូតង់ស្យែលថយចុះ។
ការអនុវត្ត
ចូលមកដល់សវទី១៩ សមីការអឺលែ ឡាផ្លាសទទួលបានការពេញនិយមជាខ្លាំង។
ដូចជាករណីប៉ោលទោល យើងមិនចាំបាច់គិតពីតំណឹងខ្សែទៀតទេ។ គេអាចប្រើត្រឹមតែមុំ១ប៉ុណ្ណោះដើម្បីសរសេរសមីការចលនា។ ហើយចំពោះប៉ោលពីរជាប់គ្នា យើងគ្រាន់ជ្រើសរើសយកមុំពីរធ្វើជាអញ្ញាតិ យើងអាចសរសេរសមីការបាន។ ប្រសិនបើប្រើវិធីញូវតុនយើងនឹងត្រូវចំណាយក្រដាសរាប់សន្លឹក។
ម្យ៉ាងទៀតក្នុងពាក់កណ្តាលចុងក្រោយនៃសវទី២០ ក្នុងរោងចក្រនៃប្រទេសជប៉ុនគេឃើញមានរ៉ូបូតដែលអាចផ្សារដែកបាន។ ដៃរបស់រ៉ូបូតនេះមាន៦គន្លាក់។ ហើយផ្នែកនីមួយៗធ្វើចលនាដោយមុំផ្សេងៗគ្នា។ ប្រូក្រាមសម្រាប់គ្រប់គ្រងចលនាដ៏ស្មុគស្មាញនេះត្រូវបានសរសេរឡើងផ្អែកលើសមីការអឺលែឡាក្រង់នេះ។
នៅឆ្នាំ១៩២៦ រូបវិទូអូទ្រីស Erwin Schrödinger មានចម្ងល់ថាតើអេឡិចត្រុងជាភាគល្អិតឬក៏ជារលក?
លោកបានសម្លឹកមើលសមីការអឺលែឡាក្រង់ហើយគិតថា ប្រសិនបើអេឡិចត្រុងជារលក ពេលជំនួសចូលក្នុងសមីការអឺលែឡាក្រង់តើវានឹងទៅជាយ៉ាងណា? ពីរបីសប្តាហ៍ក្រោយមក សមីការ Schrödinger ក៏កើតមានឡើង។
ក្រោយមកទៀតក្នុងឆ្នាំ ១៩៤៨ អ្នកប្រាជ្ញអាមេរិចលោក Richard Feynman បានលើកឡើងនូវគំនិតគួរឲ្យភ្ញាក់ផ្អើលមួយគឺ អេឡិចត្រុង ពីចំណុចចាប់ផ្តើមដល់ទីបញ្ចប់ វាត្រូវធ្វើដំណើរលើផ្លូវដែលអាចកើតមានទាំងអស់ក្នុងពេលដំណាលគ្នា។ នេះជាក្បូនមួយដែលក្រោយមកហៅថា អាំងតេក្រាលផ្លូវ (Path Integral) ដែលជាការអនុវត្តមួយនៃសមីការអឺលែឡាផ្លាសក្នុងរូបវិទ្យាកង់ទិច។
ឧទាហរណ៍
ម៉ាសក្នុងតម្រុយមួយវិមាត្រ x
ប៉ោលទោល
យើងយកតម្រុយគោលអាស្រ័យនឹងមុំ θ នោះ
