ទ្រឹស្តីបទ Gauss ឬទ្រឹស្តីបទបន្សាយ Gauss Theorem or Divergence Theorem

*កំណត់ចំណាំ : មានរបៀបពីរយ៉ាងដើម្បីសរសេរវ៉ិចទ័រ។ គេអាចប្រើសញ្ញាព្រួញ​​ ឬអក្សរដិត។ឧទាហរណ៍ដូចជា

ក្នុងវែបសាយនេះយើងប្រើប្រាស់ទាំងពីរទម្រង់។ សញ្ញាព្រួញសម្រាប់សមីការ ឬរូបមន្តវែងៗ​ រីឯនិមិត្តសញ្ញាគណិតវិទ្យាខ្លីៗដែលមាននៅក្នុងអត្ថបទឬល្បះសម្រាប់ពន្យល់យើងប្រើអក្សរដិតវិញ។

===========================

សេចក្តីផ្តើម

ភ្លុចឬចំនួនខ្សែដែននៃដែនវ៉ិចទ័រ(Vector Field)អាចគណនាបានដោយប្រើអាំងតេក្រាលផ្ទៃ(Surface Integral)។​ ក្នុងករណីមួយចំនួនជាពិសេសករណីផ្ទៃជាផ្ទៃបិទ(បិទជុំវិញមាឌ)(Enclosed Surface)ការគណនាអាំងតេក្រាលផ្ទៃមានភាពស្មុគស្មាញនិងត្រូវចំណាយពេលច្រើន។ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះគេច្រើនជំនួសអាំងតេក្រាលផ្ទៃដោយអាំងតេក្រាលមាឌ(Volume Integral)។ ការភ្ជាប់ទំនាក់ទំនងរវាងអាំងតេក្រាលផ្ទៃនិងអាំងតេក្រាលមាឌនេះហៅថាទ្រឹស្តីបទបន្សាយ(Divergence Theorem)ដែលត្រូវបានផ្តើមគំនិតឡើងដោយលោកJoseph Louis Lagrange(1736-1813)ក្នុងឆ្នាំ1764។ ក្រោយមក(1777-1855)លោកGeorge Green, Carl F. Gauss និង M. V. Ostrogradskii បានរកឃើញឡើងវិញនិងបង្កើតបាននូវទ្រឹស្តីបទបន្សាយក្នុងទម្រង់កូអរដោណេដេកាត។ ចុងក្រោយ(1880-1901)លោកOliver Heaviside និងJosiah W. Gibbs បានបម្លែងទ្រឹស្តីនេះឲ្យក្លាយជាទម្រង់វ៉ិចទ័រដែលនាំឲ្យមានការប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយដូចជានៅក្នុងអេឡិចត្រូស្តាទិច(Electrostatics) និងមេកានិចនៃសន្ទនីយ៍(Fluid Mechanics)ជាដើម។ ទោះបីជាទ្រឹស្តីបទបន្សាយមានទាក់ទងនឹងអ្នកប្រាជ្ញច្រើនក៏ដោយក៏ជាទូទៅគេច្រើនស្គាល់វាថាជាទ្រឹស្តីបទGaussឬទ្រឹស្តីបទបន្សាយនៃGauss(Gauss Divergence Theorem)។

អត្ថបទខាងក្រោមនេះជាចំណេះដឹងមូលដ្ឋានទាក់ទងនឹងទ្រឹស្តីបទបន្សាយ។ មាននិយមន័យនិងឧទាហរណ៍អំពីការអនុវត្តទ្រឹស្តីនេះក្នុងអេឡិចត្រូស្តាទិច។

និយមន័យនិងបំណកស្រាយ

យើងនឹងសិក្សាលើលំហូរចេញចូលនៃសន្ទនីយ៍ ក្នុងផ្ទៃ ABCD ដែលមានផ្ចិត (x,y) ជ្រុងដេក 2Δx និងជ្រុងឈរ2Δy (2Δx = 2Δy = ΔS)។ ដែនល្បឿនលំហូរនៃសន្ទនីយ៍គឺ v=ui+vj ។ដោយសារបរិមាណលំហូរតាមអង្កត់នីមួយទាក់ទងតែទៅនឹងកំប៉ូសង់ល្បឿនលំហូរតាមទិសកែងនឹងអង្កត់(កំប៉ូសង់ស្របអាចចោលបាន) បរិមាណលំហូរសរុបអាចគ​ណនាបានដូចខាងក្រោម(សូមមើលមេរៀនបន្សាយនៅទីនេះ)។

ម្យ៉ាងទៀតតាមនិយមន័យបន្សាយ

យើងសរសេរបរិមាណលំហូរដោយប្រើផលគុណស្កាលែ

n គឺជាវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ឯកតាដែលកែងនឹងអង្កត់នីមួយៗ មានទិសចេញពីផ្ទៃ ABCD ។ ចំពោះអង្កត់ AB  ល្បឿនលំហូរ v មានទិសស្របនឹងអ័ក្ស x (+), n ក៏ស្របនឹងទិសវិជ្ជមាន x ដែរ (+) ដូចនេះបរិមាណលំហូរតាមAB Q_AB ត្រូវមានសញ្ញាវិជ្ជមាន (បូក×បូក) ។​ ចំពោះអង្កត់ BC  ល្បឿនលំហូរ v មានទិសស្របនឹងអ័ក្ស y (+), n ក៏ស្របនឹងទិសវិជ្ជមាន y ដែរ (+) ដូចនេះបរិមាណលំហូរតាមBC Q_BC ត្រូវមានសញ្ញាវិជ្ជមាន (បូក×បូក) ។​ ចំពោះអង្កត់ CD វិញ  ល្បឿនលំហូរ v មានទិសផ្ទុយនឹងអ័ក្ស x (-), n ក៏មានទិសដូចv ដែរ (-) ដូចនេះបរិមាណលំហូរតាមCD Q_CD ត្រូវមានសញ្ញាវិជ្ជមាន (ដក×ដក) ។​ ចំពោះអង្កត់ DA វិញ  ល្បឿនលំហូរ v មានទិសផ្ទុយនឹងអ័ក្ស y (-), n ក៏មានទិសដូចv ដែរ (-) ដូចនេះបរិមាណលំហូរតាមCD Q_CD ត្រូវមានសញ្ញាវិជ្ជមាន (ដក×ដក) ។​ នេះមានន័យថាផលគុណស្កាលែរវាងវ៉ិចទ័រល្បឿនលំហូរនឹងវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ឯកតាចំពោះគ្រប់តួទាំងអស់គឺវិជ្ជមាន។ ដូចនេះផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការខាងលើអាចសរសេរដូចខាងក្រោម

ដែល Δs = 2Δx = 2Δy ។ សមីការខាងលើផ្នែកខាងឆ្វេង​គឺជាផលបូកស៊េរី៤តួបញ្ចូលគ្នាដោយប្រើសញ្ញាណផលបូក∑។ លំដាប់នៃតួនីមួយៗគឺជាគន្លង(ផ្លូវ)ដែលចេញពីចំណុចA វិលតាមទិសច្រាសទ្រនិចនាឡិកាហើយត្រលប់មក A វិញ(γ គឺជាគន្លងដែលតាងដោយសញ្ញាព្រួញពណ៌បៃតងក្នុងរូបខាងលើ) ។​ នេះមានន័យថាសមីការខាងលើអាចសរសេរ

បើយើងពន្លាតសំណុំផ្ទៃ ABCD ( ផ្ទៃតូចΔs ) យើងបានដែន D ដូចរូបភាពខាងក្រោម។

រូបនេះប្រៀបបីដូចជាធាតុដ៏តូចΔS នៃផ្ទៃ ABCD ផ្តុំគ្នាក្នុងលំហ D ។ ព្រួញពណ៌ក្រហមគឺជាវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ឯកតាដែលមានទិសតាមលំហូរចេញនៃអង្កត់នីមួយៗ​។ បើយើងពិនិត្យឲ្យមែនទែនយើងឃើញថា​ ចំពោះអង្កត់ពីរជាប់គ្នា​ វ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ឯកតាមានទិសផ្ទុយគ្នា ស៊ីសងគ្នា។ នេះមានន័យថា លើកលែងតែខ្សែខាងក្រៅ​បង្អស់ Γ (រូបខាងស្តាំ) អង្កត់ពីរជាប់គ្នា លំហូរចេញមានទិសផ្ទុយគ្នានាំឲ្យគ្មានលំហូរត្រង់អង្កត់ទាំងពីរឬលំហូរស្មើសូន្យ។ នេះមានន័យថាអ្វីដែលនៅសល់ត្រូវគិតគឺ បរិមាណលំហូរ ( v∙nΔs)លើផ្ទៃខាងក្រៅបង្អស់ដែលជាផ្លូវ​ Γ ច្រាសទ្រនិចនាឡិកា។ ដូចនេះ សមីការខាងលើដែលកំណត់ចំពោះផ្ទៃតូចΔS អាចអនុវត្តចំពោះផ្ទៃធំ D ដូចខាងក្រោម

អនុវត្តលីមីតΔs→ 0, ΔS→ 0 លើអង្គទាំងសងខាងគេបាន

នេះគេហៅថាទ្រឹស្តីបទGaussចំពោះប្លង់ពីរវិមាត្រ។ ដោយអង្គខាងឆ្វេងគឺជាអាំងតេក្រាលខ្សែ​ ហើយអង្គខាងស្តាំគឺជាអាំងតេក្រាលផ្ទៃ ដូចនេះ​ទ្រឹស្តីនេះជាទ្រឹស្តីដែលភ្ជាប់ទំនាក់ទំនងរវាងអាំងតេក្រាលខ្សែនឹងអាំងតេក្រាលផ្ទៃ។ ចំពោះលំហបីវិមាត្រទ្រឹស្តីបទGaussគឺ

ជាទូទៅទំនាក់ទំនងបែបនេះហៅថាទ្រឹស្តីបទGaussឬទ្រឹស្តីបទបន្សាយ។ ដោយអង្គខាងឆ្វេងជាអាំងតេក្រាលផ្ទៃ ខាងស្តាំជាអាំងតេក្រាលមាឌ ហេតុនេះទ្រឹស្តីនេះជាការភ្ជាប់ទំនាក់ទំនងរវាងអាំងតេក្រាលផ្ទៃនឹងអាំងតេក្រាលមាឌ។

យើងនឹងគិតពីអត្ថន័យនៃអង្គខាងឆ្វេង∫∫v∙ndS។ ដូចរូបខាងក្រោម​ អាំងតេក្រាលផ្ទៃនៃv∙nលើផ្ទៃបិទ S ដែលគ្របដណ្តប់ដែនV។ v∙ndS​​ គឺជាកំប៉ូសង់កែងនៃដែនវ៉ិចទ័រv ដែលកែងនឹងផ្ទៃ S នៃទីតាំងនីមួយគុណថែមនឹងផ្ទៃតូចdS ។​ នេះគឺជាការគណនាបរិមាណលំហូរ(ក្នុងមួយខ្នាតពេល)ដែលហូរចេញពីផ្ទៃតូច dS ហើយ អាំងតេក្រាលនេះគឺជាការគណនាបរិមាណលំហូរចេញក្រៅ(ក្នុងមួយខ្នាតពេល)សរុប ចេញពីផ្ទៃបិទ S ។

ចំពោះអត្ថន័យនៃអង្គខាងស្តាំ ∫∫∫div(v)dV វិញ ដូចបង្ហាញក្នុងរូបខាងក្រោម វាជាអាំងតេក្រាលនៃបន្សាយដែនវ៉ិចទ័រលើដែនមាឌ V ទាំងស្រុង។ ដោយបន្សាយគឺជាសភាពលំហូរសាយចេញ(ឬចូល) ដូចនេះអាំងតេក្រាលនេះជាបរិមាណលំហូរ(ក្នុងមួយខ្នាតពេល)សរុបដែល(សន្ទនីយ៍)​ហូរចេញពីដែនមាឌV។

ទ្រឹស្តីបទ Gauss គឺជា​ បរិមាណចេញ(ឬចូល)នៃដែណវ៉ិចទ័រណាមួយពីផ្ទៃបិទ S ដែលស្ថិតនៅជុំវិញដែនមាឌV ។ទំហំនេះអាចគណនាតាមផលបូកបរិមាណបន្សាយ(divv) តាមទីតាំងនីមួយៗក្នងដែន ​V។ ជាញឹកញាប់គេប្រើទ្រឹស្តីបទនេះដើម្បីសម្រួលដល់ការគណនាអាំងតេក្រាល។ ជាទូទៅអាំងតេក្រាលផ្ទៃនៅអង្គខាងឆ្វេង មានភាពស្មុគស្មាញច្រើន ទើបគេត្រូវបម្លែងទៅជាអាំងតេក្រាលមាឌដើម្បីឲ្យការគណនាមានភាពងាយស្រួល។

ឧទាហរណ៍

ឧទាហរណ៍ទី១ ចំពោះដែនវ៉ិចទ័រ v = f(r)r ដែល r ជាវ៉ិចទ័រទីតាំង​មានទំហំ r ។ ក្នុងស្វ៊ែមានកាំ a ផ្ចិតត្រង់គល់តម្រុយបន្សាយនៃដែនវ៉ិចទ័រគឺ divv = k  (ថេរ) ចូរគណនា f(a) ។

ចម្លើយគម្រូ

តាមទ្រឹស្តីបទ​Gauss

តាមសម្មតិកម្ម ដែន V គឺជាស្វ៊ែមានកាំ a​​ ហើយផ្ទៃបិទ S គឺជាផ្ទៃក្រៅស្វ៊ែដែលមានកាំ a  ។​ ជំនួសមីការខាងលើដោយ v=f(a)r នឹង divv = k គេបាន

ដោយវ៉ិចទ័រទីតាំង r (ណម r = a) និងវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ឯកតា n (ណម n = 1) មានទិសដៅដូចគ្នា(មុំផ្គុំθ=0) គេបាន

នាំឲ្យ

ដូចនេះ f(a) ជាចំនួនថេរដែលមិនអាស្រ័យនឹងកាំ a នៃស្វ៊ែ។

ឧទាហរណ៍ទី២ ចំពោះដែនវ៉ិចទ័រ v = axi+ byj+czk , a,b,cជាចំនួនថេរ។ យក S ជាផ្ទៃក្រៅនៃស្វ៊ែមានកាំ r ។​ ចូរគណនាអាំងតេក្រាលផ្ទៃខាងក្រោម

ចម្លើយគម្រូ

អនុវត្តច្បាប់ Gauss​​ចំពោះដែនអគ្គីសនី

យើងនឹងគណនាភ្លុចអគ្គីសនីបង្កើតដោយបន្ទុក q_in លើផ្ទៃ S ជុំវិញបន្ទុក មានចម្ងាយ r (= ថេរ)ពីបន្ទុក។

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់

• ផ្ទៃដែលដែនអគ្គីសនីឆ្លងកាត់ត្រូវតែជាផ្ទៃបិទ
• ផ្ទៃត្រូវកាត់តាមទីតាំងដែលដែនអគ្គីសនីឆ្លងកាត់
• បន្ទុកអគ្គីសនីត្រូវស្ថិតនៅក្នុងផ្ទៃ
• របាយបន្ទុកអគ្គីសនីជារបាយបន្ទុកជាប់មិនមែនជារបាយបន្ទុកដាច់។

តាមនិយមន័យភ្លុចអគ្គីសនី Φ (ចំនួនខ្សែដែនអគ្គីសនី)ដែលឆ្លងកាត់ផ្ទៃគឺ

ករណីផ្ទៃបិទយើងអាចសរសេរ

n ជាវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ឯកតាដែលកែងនឹងផ្ទៃ S

ដែនអគ្គីសនី E កំណត់ដោយ

ធាតុផ្ទៃ dS នៃស្វ៊ែគឺ

ដោយដែនអគ្គីសនី E មានទិសស្របនឹងវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ឯកតា n តាមនិយមន័យផលគុណស្កាលែគេបាន

យើងបានភ្លុចអគ្គីសនីឆ្លងកាត់ផ្ទៃបិទគឺ

ដូចនេះភ្លុចអគ្គីសនីដែលឆ្លងកាត់ផ្ទៃបិទស្មើនឹង 1/ε_o នៃបរិមាណបន្ទុកអគ្គីសនីដែលមានក្នុងផ្ទៃបិទនោះ។

និយាយឲ្យងាយស្តាប់គឺថា​ ច្បាប់ Gauss ភ្ជាប់លំហូរនៃខ្សែដែនអគ្គីសនី(ភ្លុច) ទៅនឹងបន្ទុកដែលស្ថិតក្នុងផ្ទៃបិទ។ ប្រសិនបើគ្មានបន្ទុកក្នុងផ្ទៃបិទទេ នោះសំណុំភ្លុចអគ្គីសនីក៏គ្មានដែរ។ នេះមានន័យថា ចំនួនខ្សែដែនអគ្គីសនីដែលចូលក្នុងផ្ទៃស្មើនឹងខ្សែដែនដែលចេញពីផ្ទៃ។

ម្យ៉ាងទៀតតាមរយៈទ្រឹស្តីបទGaussឬទ្រឹស្តីបទបន្សាយគេបាន

ហើយបរិមាណបន្ទុកអគ្គីសនីនៃមាឌVគឺ

ផ្ទឹមសមីការទាំងពីរខាងលើ គេបាន

ដូចនេះបន្សាយនៃដែនអគ្គីសនីគឺ

ស្រដៀងគ្នានឹងភ្លុចដែរ ត្រង់នេះមានន័យថាបន្សាយនៃដែនអគ្គីសនីអាស្រ័យនឹងប្រភពបង្កើតដែនអគ្គីសនីពោលគី(ដង់ស៊ីតេ)បន្ទុកអគ្គសនី។ ប្រសិនបើបន្ទុកជាបន្ទុកវិជ្ជមាននោះដែនអគ្គីសនីជាដែនសាយចេញ​ ផ្ទុយទៅវិញបើបន្ទុកជាបន្ទុកអវិជ្ជមាននោះដែនអគ្គីសនីជាដែនស្រូបចូល។ ហើយតំបន់ណាមួយនៃលំហដែលបន្សាយស្មើសូន្យគេអាចទាញបានថាត្រង់នោះគ្មាន(ដង់ស៊ីតេ)បន្ទុកអគ្គីសនីឬជាតំបន់ដែលមានដែនថេរឬឯកសណ្ឋាន។

លំហាត់អនុវត្ត

ផ្ទៃស្វ៊ែ S មានគល់តម្រុយជាផ្ចិតនិងកាំស្មើ 1 ។ គេមានដែនវ៉ិចទ័រ v = 7xi+3yj-4zk ។ ចំពោះ n ជាវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ឯកតានៃផ្ទៃ S ចូរគណនាអាំងតេក្រាលផ្ទៃខាងក្រោម

ចម្លើយគម្រូ

តាមទ្រឹស្តីបទGauss

ឯកសារយោង

1. 薩摩順吉，物理の数学，岩波書店，1995,pp.111-119
2. StudySmarter : Physics, Electromagnetism, Divergence of Electrostatic Field, 2024, Accessed: 2024/May/02, https://www.studysmarter.co.uk/explanations/physics/electromagnetism/divergence-of-electrostatic-field/
3. BYJU’S: JEE, IIT JEE Study Material, Gauss Law, 2024, Accessed: 2024/May/02, https://byjus.com/jee/gauss-law/
4. Science Facts: Home, Physics, Gauss’s Law, 2024, Accessed: 2024/May/02, https://www.sciencefacts.net/gausss-law.html
5. MyJoVE Corporation: Divergence and Curl of Electric Field, 2024, Accessed : 2024/May/02, https://www.jove.com/science-education/14179/divergence-and-curl-of-electric-field
6. Harvard Mathematics Department: Lecture 24, Divergence theorem
7. Charles H. Stolze, A history of the divergence theorem, Historia Mathematica, Vol.5, Issue 4,1978, pp. 437-442