និយមន័យ
ដូចគ្នានឹងអនុគមន៍ចំនួនពិតដែរ ចំពោះអនុគមន៍កុំផ្លិច f(z) ដេរីវេរបស់វាកំណត់ដោយ
ប្រសិនបើ f(z) មានដេរីវេត្រង់(កៀកនឹង) z នោះគេថា f គឺ holomorphic ត្រង់ z ហើយ f(z) ជាអនុគមន៍ holomorphic។ អនុគមន៍ holomorphic មានន័យថាភាពមានដេរីវេនៃ f មិនមែនត្រឹមតែចំពោះដេរីវេទី១ប៉ុណ្ណោះទេ តែវាពិតចំពោះដេរីវេទី២ ទី៣….ទី n ពោលគឺវាមានដេរីវេទាំងអស់។ ករណីដែរអនុគមន៍ដេរីវេរីកទៅអនន្តនោះ f មិនអាចដេរីវេបានទេ។ ម្យ៉ាងទៀត នៅពេលដែល Δz→0 នៅលើប្លង់កុំផ្លិច មិនថាវាខិតពីទិសខាងណាទេ (Δx → 0 ឬ Δy→0) អនុគមន៍ដេរីវេត្រូវតែរួមទៅរកតម្លៃដូចគ្នា។
ឧទាហរណ៍ ១
សិក្សាភាពមានដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(z) = z3
ចម្លើយគម្រូ
ដូចនេះ f មានដេរីវេ
ឧទាហរណ៍ ២
ចម្លើយគម្រូ
ប្រសិនបើΔz ខិតជិតសូន្យតាមទិស x នោះតាមទិស y គ្មានការផ្លាស់ទីឬក៏គ្មានការប្រែប្រួល មានន័យថាΔy = 0 គេបាន
ដោយឡែក ប្រសិនបើ Δz ខិតជិតសូន្យតាមទិស y នោះតាមទិស x គ្មានបម្រែបម្រួលឬΔx = 0 គេបាន
នេះមានន័យថាតម្លៃលីមីតប្រែប្រួលតាមទិសដែលខិតជិតសូន្យ។ ហេតុនេះអនុគមន៍នេះគ្មានដេរីវេទេ។ នេះជាលក្ខណពិសេសដែលមានតែចំពោះអនុគមន៍កុំផ្លិចតែប៉ុណ្ណោះ។
ដូចក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ ដេរីវេនៃអនុគមន៍កុំផ្លិចអាស្រ័យលើរបៀបដែលយើងគណនាលីមីតពោលគឺដេរីវេអាចប្រែប្រួលអាស្រ័យលើទិសដៅដេរីវេដែលយើងសិក្សា។ ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយយើងមិនអាចសិក្សាដេរីវេនៃអនុគមន៍តាមទិសដៅនីមួយៗម្តងមួយៗនោះទេ វាចំណាយពេលច្រើន។ ហេតុនេះហើយ ដើម្បីសិក្សាភាពមានដេរីវេនៃអនុគមន៍កុំផ្លិច ជាទូទៅយើងប្រើលក្ខខណ្ឌ កូស៊ី–រឺមែនដូចខាងក្រោម
ចំពោះ z = x+iy , អនុគមន៍ f(z)=f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y) មានដេរីវេលុះត្រាតែវាផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ លក្ខខណ្ឌ កូស៊ី–រឺមែន(CR) ដូចខាងក្រោម
ឧទាហរណ៍ ៣
សិក្សាភាពមានដេរីវេនៃ f(z) = z3
ចម្លើយគម្រូ
យើងឃើញថាអនុគមន៍ f ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌCR ដូចនេះ f ជាអនុគមន៍មានដេរីវេ
ឧទាហរណ៍ ៤
សិក្សាភាពមានដេរីវេនៃ f(z) = sinz
ចម្លើយគម្រូ
f(z) = sinz ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខ័ណ្ឌកូស៊ី-រីមែន ដូចនេះ f មានដេរីវេ
សមីការឡាផ្លាស
នៅក្នុងរូបវិទ្យានិងវិស្វកម្ម វិភាគកុំផ្លិចមានសារសំខាន់នៅពេលដែលផ្នែកពិតនិងផ្នែកនិម្មិតទាំងពីរនៃអនុគមន៍មានដេរីវេបង្ហាញខ្លួនជាដែនទំនាញដី ដែនអេឡិចត្រូម៉ាញ៉េទិច ដែនកម្តៅ និងដែនលំហូរជាដើម។ មានសមីការមួយដែលពេញនិយមក្នុងការបង្ហាញបាតុភូតទាំងនេះ។ គេហៅថាសមីការឡាផ្លាស
ចំពោះ z = x+iy , អនុគមន៍ f(z)=f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y) ជាអនុគមន៍មានដេរីវេនោះគេបាន
នេះគេហៅថាសមីការឡាផ្លាស។ ឧទាហរណ៍ក្នុងករណីដែនលំហូរគេហៅថាប៉ូតង់ស្យែលល្បឿនកុំផ្លិច។
ម្យ៉ាងទៀតតាមលក្ខខណ្ឌ CR គេបាន
ក្នុងលំហូរនៃសន្ទនីយ៍ ដោយលំហូរមិនអាចកាត់តាមខ្សែព្រំដែន(ជញ្ជាំង)ទេ ហេតុនេះត្រង់ព្រំដែនត្រូវតែជាខ្សែលំហូរ មានន័យថាអនុគមន៍លំហូរ Ψ មានសារសំខាន់ណាស់។
នេះមានន័យថា កំប៉ូសង់ល្បឿនលំហូរ (u, y) អាចសរសេរលើប្លង់កុំផ្លិចបាន។ dF/dz ហៅថាល្បឿនកុំផ្លិច
ឧទាហរណ៍ ៥
ករណីកំប៉ូសង់ល្បឿន u = x, v = -y , ចូររកប៉ូតង់ស្យែលល្បឿនφ និងអនុគមន៍ល្បឿន Ψ
ចម្លើយគម្រូ
អនុគមន៍លំហូរ Ψ ដូចក្នុងរូបខាងក្រោម វាបង្ហាញពីលំហូរដែលហូរតាមជញ្ជាំងដែលកើតចេញពីអ័ក្ស x, y កាត់កែងគ្នា។ ហើយជាទូទៅ ប៉ូតង់ស្យែលល្បឿនកុំផ្លិច W = zn បង្ហាញពីលំហូរតាមជញ្ជាំងដែលកាត់ត្រង់គល់តម្រុយមុំ π/n
ឧទាហរណ៍ទី ៦
ចំពោះកំប៉ូសង់ល្បឿនលំហូរ u = y, v = -x ចូររកប៉ូតង់ស្យែលល្បឿនφ និងអនុគមន៍ល្បឿន Ψ
ចម្លើយគម្រូ
