ស៊េរី Fourier បម្លែង Fourier និង អាំងតេក្រាល Fourier

ស៊េរី Fourier តម្លៃពិត (Real-Valued Fourier Series)

ប្រសិនបើ f ជាអនុគមន៍ខួបដែលកំណត់ដោយ

ដែល T ជាខួបនៃអនុគមន៍។ នោះអនុគមន៍ f អាចសរសេរជាផលបូកនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រផ្សេងៗចូលគ្នាដូចខាងក្រោម

ទំនាក់ទំនងនេះហៅថា ស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍ f ​​​ដែល

អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ស៊ីមេទ្រី(Integrals of Symmetric Functions)

ចំពោះអាំងតេក្រាល

គេអាចសរសេរ

តាង t = -x គេបាន

ដូចនេះអាំងតេក្រាលខាងលើគឺ

ករណី f ជាអនុគមន៍សេសនោះ(Odd Function)  f(-t) = -f(t) គេបាន

ករណី f ជាអនុគមន៍គូ(Even Function) នោះ f(-t) = f(t) នោះ

ស៊េរី Fourier ចំពោះអនុគមន៏ស៊ីមេទ្រី

ករណីទី១ : f , g គឺជាអនុគមន៍គូទាំងពីរ

គេបាន h(-x) = f(-x) g(-x) = f(x)g(x) = h(x) មានន័យថា h(x) ក៏ជាអនុគមន៍គូដែរ។

ករណីទី២ :  f, g គឺជាអនុគមន៍សេសទាំងពីរ

គេបាន h(-x) = f(-x) g(-x) = [-f(x)] [-g(x)] =f(x)g(x) = h(x) មានន័យថា h(x) ក៏ជាអនុគមន៍សេសដែរ។

ករណីទី៣ : f ជាអនុគមន៍គូហើយ g ជាអនុគមន៍សេស ឬច្រាសមកវិញ

គេបាន h(-x) = f(-x) g(-x) = f(x)[-g(x)] =-f(x)g(x) = -h(x) មានន័យថា h(x) គឺជាអនុគមន៍សេស។

ចំពោះអនុគមន៍ cosωx និង sinωx

ហេតុនេះស៊េរី Fourier ចំពោះអនុគមន៍ស៊ីមេទ្រីគឺ

• ប្រសិនបើ f ជាអនុគមន៍គូនោះ f(x)sin(nωx) គឺជាអនុគមន៍សេស នាំឲ្យ b_n = 0

• ប្រសិនបើ f ជាអនុគមន៍សេសនោះ f(x)cos(nωx) គឺជាអនុគមន៍សេស នាំឲ្យ a_n = 0

ស៊េរី Fourier កុំផ្លិច (Complex Fourier Series)

នៅក្នុងស៊េរី Fourier តម្លៃពិត យើងជំនួសអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដោយររូបមន្តអឺលែ

នេះគេហៅថា ស៊េរី Fourier កុំផ្លិច។ ទំនាក់ទំនងនេះអាចអនុវត្តបានទោះបី f(x) មិនមែនជាអនុគន៍តម្លៃពិតក៏ដោយ។ ករណីពិសេសគឺថា f(x) ជាអនុគមន៍ពិត អនុគមន៍មេគុណ c_n  ផ្ទៀងផ្ទាត់ទំនាក់ទំនងខាងក្រោម

បម្លែង Fourier (Fourier Transform)

ប្រសិនបើ f ជាអនុគមន៍ខួបដែលកំណត់ដោយ

ដែល T ជាខួបនៃអនុគមន៍ ហើយល្បឿនមុំគឺ ω=2π /T ។

យក h ជាអនុគមន៍មួយផ្សេងទៀតដែលកើតចេញពីបម្លែង Fourier នៃ f នោះគេបានទំនាក់ទំនង

ច្រាសមកវិញគេអាចគណនា f ពី h ដោយប្រើបម្លែង Fourier ច្រាស

អាំងតេក្រាល Fourier (Fourier Integral)

បម្លែង Fourier គឺជាការពន្លាតស៊េរី Fourier កុំផ្លិចដែលជាពន្លាតនៃស៊េរីអនុគមន៍ខួប ទៅជាអនុគមន៍ដែលគ្មានខួប។ ដោយឡែកស៊េរី Fourier កុំផ្លិចកើតចេញពីការជំនួសរូបមន្តអឺលែរទៅក្នុងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃស៊េរី Fourier។ ហេតុនេះ តាមទំនាក់ទំនងទាំងពីរខាងលើ គេអាចទាញសន្និដ្ឋានយ៉ាងងាយបានថា គេក៏អាចពន្លាតស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍ខួបឲ្យទៅជាទំនាក់ទំនងមួយនៃអនុគមន៍គ្មានខួបដែរ។ ការពន្លាតបែបនេះហៅថា អាំងតេក្រាល Fourier ដែលកំណត់ដោយ

ឧទាហរណ៍

ឧទាហរណ៍ទី១ គណនាស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍ខាងក្រោម

ចម្លើយគម្រូ

ដោយ f(x+2π) = f(x) នោះខួបនៃ f គឺ T = 2π

ម្យ៉ាងទៀត f(-x) = ǀ -x ǀ=ǀ x ǀ = f(x) ដូចនេះ f ជាអនុគមន៍គូនាំឲ្យ b_n = 0

ស៊េរីនៃអនុគមន៍ f គឺ

ចំពោះអនុគមន៍គូគេបាន

ចំពោះ 0 ≤ x ≤ π គេបាន ǀ x ǀ = x

ដូចនេះស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍ f គឺ

ឧទាហរណ៍ទី២ គណនាស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍ f ដែល

ចម្លើយគម្រូ

ចំពោះ –π ≤  x < 0 , f(x) = -1 ហើយចំពោះ 0 <  –x ≤  π , f(-x) = 1 = -f(x)

ម្យ៉ាងទៀតចំពោះ 0 <  x <π , f(x) =1 ហើយចំពោះ –π <  –x < 0 , f(-x) = -1 = -f(x)

ហេតុនេះ f គឺជាអនុគមន៍សេស គេបាន

ឧទាហរណ៍ទី៣ គណនាស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍ f ដែល

ចម្លើយគម្រូ

ស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍ f  គឺ

ឧទាហរណ៍ទី៤ គណនាបម្លែង Fourier នៃអនុគមន៍ f ដែល

ចម្លើយគម្រូ

ឧទាហរណ៍ទី៥ គណនាបម្លែង Fourier នៃអនុគមន៍ f ដែល

ចម្លើយគម្រូ

ឯកសារយោង

1. 薩摩順吉，物理の数学，岩波書店, 1995, pp.233-237
2. 武田好史 : 熱方程式，Fourier 級数，Fourier 変換，離散Fourier 変換，, 2014
3. 由良忠義：フーリエ解析と偏微分方程式（2006）
4. https://www.se.fukuoka-u.ac.jp/iwayama/teach/kisoIII/2017/chap4.pdf