ប៉ូតង់ស្យែល Potential

*កំណត់ចំណាំ : មានរបៀបពីរយ៉ាងដើម្បីសរសេរវ៉ិចទ័រ។ គេអាចប្រើសញ្ញាព្រួញ​​ ឬអក្សរដិត។ឧទាហរណ៍ដូចជា

ក្នុងវែបសាយនេះយើងប្រើប្រាស់ទាំងពីរទម្រង់។ សញ្ញាព្រួញសម្រាប់សមីការ ឬរូបមន្តវែងៗ​ រីឯនិមិត្តសញ្ញាគណិតវិទ្យាខ្លីៗដែលមាននៅក្នុងអត្ថបទឬល្បះសម្រាប់ពន្យល់យើងប្រើអក្សរដិតវិញ។

ទ្រឹស្តីបទHelmholtz

ចំពោះដែនវ៉ិចទ័រ A ប្រសិនបើមានដែនស្កាលែ f ណាមួយដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ទំនាក់ទំនងខាងក្រោម

នោះគេថា f គឺជាប៉ូតង់ស្យែលស្កាលែ( Scalar Potential) ឬប៉ូតង់ស្យែលនៃ A ។​ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ដើម្បីឲ្យដែនវ៉ិចទ័រ A មានប៉ូតង់ស្យែលស្កាលែ f គឺ

ដែលមានន័យថាដែនវ៉ិចទ័រ​ A គឺជាដែនមានបន្សាយតែគ្មានរង្វិល។

ដោយឡែក ចំពោះដែនវ៉ិចទ័រ A ប្រសិនបើមានដែនវ៉ិចទ័រ B ណាមួយដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ទំនាក់ទំនងខាងក្រោម

នោះគេថា ដែនវ៉ិចទ័រ B គឺជាប៉ូតង់ស្យែលវ៉ិចទ័រ(Vector Potential)នៃ A ។​ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ដើម្បីឲ្យដែនវ៉ិចទ័រ A មានប៉ូតង់ស្យែលវ៉ិចទ័រ B គឺ

ដែលមានន័យថាដែនវ៉ិចទ័រ A គឺជាដែនវិលតែគ្មានបន្សាយ។

ជាទូទៅ ចំពោះដែនវ៉ិចទ័រ A ដែលជាលំហូរមិនវិល (rotA=0) ហើយជាលំហូរគ្មានបន្សាយ(divA=0) គេអាចសរសេរ A ជាទម្រង់ផលបូកនៃប៉ូតង់ស្យែលស្កាលែ និងប៉ូតង់ស្យែលវ៉ិចទ័រដូចខាងក្រោម

រូបមន្តនេះហៅថាទ្រឹស្តីបទHelmholtz

រូបមន្តនេះត្រូវបានអនុវត្តចំពោះបាតុភូតទាំងឡាយណាដែលទាក់ទងនឹងដែន។ នៅក្នុងរូបវិទ្យា វាក៏ជារូបមន្តមួយសំខាន់ដែរ។ ចំពោះការអនុវត្តខ្លះៗក្នុងរូបវិទ្យាលោកអ្នកអាចពិនិត្យមើលតំណភ្ជាប់នៃមេរៀនរូបវិទ្យាខាងក្រោម។

ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទទ្រឹស្តីបទHelmholtzក្នុងរូបវិទ្យា។ 

លំហូរខ្យល់ក្នុងប្លង់ដេកពីរវិមាត្រ

ការអនុវត្តមួយនៃទ្រឹស្តីបទ Helmholtz គឺការសិក្សាពីឧតុនិយម(Meteorology) និងវារីសាស្ត្រ (Hydraulics)។ អនុវត្តទ្រឹស្តីបទនេះចំពោះលំហូរខ្យល់ក្នុងប្លង់ដេកពីរវិមាត្រនោះគេបាន

Φ(x,y)ហៅថាប៉ូតង់ស្យែលល្បឿន(Velocity Potential)ដែលត្រូវជាប៉ូតង់ស្យែលស្កាលែ។ ចំណែកឯΨ(x,y)=(0, 0, Ψ(x,y)) ហៅថាអនុគមន៍ខ្សែលំហូរ(Flow Line Function)ដែលត្រូវជាប៉ូតង់ស្យែលវ៉ិចទ័រ។ នេះមានន័យថាដែនលំហូរពីរវិមាត្រ v អាចសរសេរជាផលបូករវាងលំហូ v_Φ ដែលកំណត់ដោយប៉ូតង់ស្យែលល្បឿន Φ នឹងលំហូរ v_Ψ ដែលកំណត់ដោយអនុគមន៍ខ្សែលំហូរ Ψ ។

កំប៉ូសង់នៃលំហូរ v_Φ​ គឺ

កំប៉ូសង់នៃលំហូរ v_Ψ គឺ

រង្វិលនៃលំហូរ​ v_Φ ដែលកំណត់ដោយប៉ូតង់ស្យែលល្បឿន Φ គឺ​ (រង្វិលជុំវិញអ័ក្ស z)​

នេះមានន័យថា ​gradΦ គឺជាលំហូរមានបន្សាយចេញចូលតែគ្មានរង្វិល។ បន្សាយនៃលំហូរនេះគឺ

ដែលមានន័យថាវាត្រូវបានកំណត់ដោយប៉ូតង់ស្យែលល្បឿន​ Φ ។

ដោយឡែក បន្សាយនៃលំហូរ v_Ψ ដែលកំណត់ដោយអនុគមន៍ខ្សែលំហូរ Ψ គឺ

នេះមានន័យថា rotΨ​ ជារង្វិលដែលគ្មានបន្សាយ។ ស្ថានភាពរង្វិល ζ (vorticity) តាមអ័ក្សរឈរ(អ័ក្សរង្វិលz)គឺ

ដែលមានន័យថាវាត្រូវបានកំណត់ដោយអនុគមន៍ខ្សែលំហូ Ψ​ ។

ដើម្បីឲ្យ rotΨ​ ក្លាយជាលំហូគ្មានភាពវិលវល់ (vorticity) លុះត្រាតែស្ថានភាពរង្វិល ζ តាមទិសឈរត្រូវស្មើសូន្យពោលគឺ

នេះជាសមីការឡាផ្លាស​(Laplace Equation) ហេតុនេះអនុគមន៍ខ្សែលំហូ Ψ​ ​គឺជាអនុគមន៍អាកម៉ូនិច(Harmonic Function)។ ម្យ៉ាងទៀត ដើម្បីឲ្យ  ​gradΦ ក្លាយជាលំហូរដែលគ្មានបន្សាយលុយត្រាតែ D = 0  មានន័យថា

ដែលនេះក៏ជាសមីកាឡាផ្លាសដែរ។ ហេតុនេះប៉ូតង់ស្យែលល្បឿន​ Φ ក៍ជាអនុគមន៍អាកម៉ូនិច។

ដូចបង្ហាញក្នុងរូបខាងក្រោម​ នៅប៉ូលខាងជើងចំពោះទីតាំងសម្ពាធខ្ពស់(នៅជិតផែនដី)ជាទូទៅលំហូរខ្យល់នៅទីនោះជាលំហូដែលវិលឡើងលើតាមទិសទ្រនិចនាឡិកា។ លំហូរពីរវិមាត្រ v បែបនេះ ដូចក្នុងរូបខាងក្រោម តែងតែត្រូវកំណត់ដោយផលបូករវាង ទី១លំហូរគ្មានរង្វិល(មានបន្សាយ) v_Φ ដែលគណនាចេញពីប៉ូតង់ស្យែលល្បឿន​ Φ នឹងទី២លំហូរគ្មានបន្សាយ(មានរង្វិល) v_Ψ ដែលកំណត់ដោយអនុគមន៍ខ្សែលំហូរ Ψ​ ។ លំហូរដែលគ្មានរង្វិល(មានបន្សាយ) v_Φ មានទិសកែងនឹងខ្សែតម្លៃថេរ(isoline)នៃប៉ូតង់ស្យែលល្បឿន​ Φ ។ ចំណែកឯលំហូរដែលគ្មានបន្សាយ(មានរង្វិល) v_Ψ បក់ស្របនឹងខ្សែតម្លៃថេរនៃអនុគមន៍ខ្សែលំហូរ Ψ​ ។

តាមរយៈសមីការខាងលើ ប្រសិនបើយើងស្គាល់ពីបន្សាយ D យើងអាចកំណត់ប៉ូតង់ស្យែលល្បឿន​ Φ បានដោយគ្រាន់តែផ្តល់នូវលក្ខខណ្ឌព្រំដែន (Boundary Conditions) នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ដូចគ្នាដែរប្រសិនបើយើងស្គាល់កំប៉ូសង់ទិសឈរនៃស្ថានភាពរង្វិល ζ យើងក៏អាចកំណត់អនុគមន៍ខ្សែលំហូរ Ψ បានដោយគ្រាន់តែផ្តល់លក្ខខណ្ឌព្រំដែននៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ហេតុនេះយើងអាចនិយាយបានថា​ ដែនលំហូរ v អាចកំណត់បាន(ឬប្រែប្រួលអាស្រ័យនឹង)ដែនស្កាលែពីរគឺ បន្សាយ D និងទិសឈរនៃស្ថានភាពរង្វិល ζ ។

លំហាត់អនុវត្ត

(1) ចំពោះដែនស្កាលែ f = -x²y + z² គណនា A = gradf ។​ ម្យ៉ាងទៀត បញ្ជាក់ថា f ជាប៉ូតង់ស្យែលស្កាលែនៃ A ដោយបង្ហាញថា rotA = 0 ។

(2) ចំពោះដែនវ៉ិចទ័រ B = (-yz-xy²z , -x²yz ) គណនា A = rotB។ ម្យ៉ាងទៀត បញ្ជាក់ថា B គឺជាប៉ូតង់ស្យែលវ៉ិចទ័រនៃ A ដោយបង្ហាញថា divA=0 ។

ចម្លើយគម្រូ

ឯកសារយោង

1. 薩摩順吉：物理の数学，岩波書店，1995,​ pp.100-101
2. 頭痛ーる　気圧予報で体調管理，気象に関する気象用語，低気圧、高気圧とは、その定義や違い，13/Apr/2024 updated, 13/Apr/2024 Accesed : https://zutool.jp/column/glossary/low-pressure_high-pressure