សមីការឌីផេរ៉ងស្យែលនៃការចម្លងកម្តៅ ឬ សមីការកម្តៅ Heat Equation

ការបកស្រាយសមីការកម្តៅ

យើងនឹងសិក្សាទៅលើរបាយសីតុណ្ហភាពនៅលើលួសត្រង់មួយខ្សែ។ ប្រសិនបើសីតុណ្ហភាពត្រង់ចំណុចណាមួយលើខ្សែលួសទាបជាងសីតុណ្ហភាពដែលនៅជុំវិញវា នោះលំហូរកម្តៅកើតឡើង ហើយជាលទ្ធផលសីតុណ្ហភាពលើខ្សែលួសក៏កើនឡើងដែរ។

នៅពេលនោះ ប្រសិនបើគម្លាតសីតុណ្ហភាពកាន់តែធំនោះបរិមាណកម្តៅដែលហូរចូលក៏ច្រើន ជាលទ្ធផល កំណើនសីតុណ្ហភាពក៏កើនឡើងក្នុងអត្រាខ្ពស់ដែរ។ គម្លាតរវាងសីតុណ្ហភាពនៃលួសនិងសីតុណ្ហភាពបរិយាកាសជុំវិញកំណត់ដោយលក្ខណៈកោងនៃផ្ទៃរបាយសីតុណ្ហភាព (Temperature Distribution Surface)ពោលគឺអត្រាកំណោង (Curvature)។ និយាយម្យ៉ាងទៀតថា អត្រាកំណោងនៃផ្ទៃរបាយសីតុណ្ហភាពគឺជាអ្នកកំណត់កំណើននៃសីតុណ្ហភាព ពោលគឺបរិមាណទាំងពីរមានទំនាក់ទំនងលីនេអ៊ែ (Linear Relation) ឬសមាត្រ(Proportion)នឹងគ្នា។

តាងអនុគន៍របាយសីតុណ្ហភាពនៃខ្សែដែកដោយអនុគមន៍ពីរអថេរ u(x, t ) ដែល x គឺជាទីតាំងនៅលើខ្សែលួស ហើយ t គឺជាពេលវេលា។ ក្នុងករណីនេះ អត្រាកំណោងនៃផ្ទៃរបាយសីតុណ្ហភាពកំណត់ដោយ​​ ∂²u/∂x² ហើយកំណើនសីតុណ្ហភាពគឺ ∂u/∂t។ ម្យ៉ាងទៀត ដូចបានរៀបរាប់ខាងលើ បរិមាណទាំងពីរសមាមាត្រនឹងគ្នា ហេតុនេះគេអាចសរសេរ

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះហៅថាសមីការចម្លងកម្តៅ ឬសមីការកម្តៅ(Heat Equation)។ ចំនួនថេរ α ហៅថាមេគុណបំភាយកម្តៅ (Thermal Diffusivity) ដែលកំណត់ដោយមេគុណកម្តៅនានានៃអង្គធាតុចម្លង(ក្នុងករណីការសិក្សានេះគឺជាខ្សែលួស)

ដែល k ជាមេគុណចម្លងកម្តៅ(Heat Conductivity), ρ គឺជាដង់ស៊ីតេ ,Cp គឺជាកម្តៅម៉ាស(Specific Heat Capacity) ហើយ ρCp គឺជាកម្តៅម៉ាសគិតជាមាឌ។

ការដោះស្រាយសមីការកម្តៅ

ករណីមានលក្ខខណ្ឌព្រំដែនជាក់លាក់​(ប្រើស៊េរី Fourier)

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលបែបនេះយើងនឹងប្រើស៊េរី Fourier, បម្លែង Fourier​ និងអាំងតេក្រាលFourier។

សូមចុចទីនេះដើម្បីមើលមេរៀនទាក់ទងនឹងរូបមន្ត Fourier

ដើម្បីសម្រួលដល់ការដោះស្រាយយើងនឹងសន្មតយក α = 1 ដែលជាលក្ខខណ្ឌងាយស្រួលឥតខ្ចោះ(លក្ខខណ្ឌប្រឌិត)។ ដូចនេះសមីការកម្តៅគឺ

ករណីមានលក្ខខណ្ឌព្រំដែនជាក់លាក់(ប្រើស៊េរី Fourier)

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលចាំបាច់ត្រូវមានលក្ខខណ្ឌព្រំដែន (Boundary Condition) នៃលំំហ(ទីតាំង)និងលក្ខខណ្ឌដើម (Initial Condition) នៃពេលវេលាដែលបាតុភូតមានដំណើរការ។ ខាងក្រោមនេះជាដំណោះស្រាយគម្រូមួយនៃសមីការកម្តៅក្នុងលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់ដូចខាងក្រោម

លក្ខខណ្ឌ : ពេលវេលា t > 0, លំហ(ប្រវែងសិក្សាលើខ្សែលួស)គឺ 0 ≤ x ≤ π

ចម្លើយគម្រូ

យើងនឹងដោះស្រាយសមីការនេះដោយរបៀបបូរាណមួយហៅថា វិធីបំបែកអថេរ (Variable Separation Method)

ជំហានទី១ : រកចម្លើយមួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

តាងចម្លើយនៃសមីការដោយ u(x,t) = X(x)T(t)​​ ដែល X(x)  គឺជាអនុគមន៍(ចម្លើយមួយនៃសមីការ)ដែលទាក់ទងនឹងលំហ ហើយ T(t) គឺជាអនុគមន៍ដែលទាក់ទងនឹងពេលវេលានៃបាតុភូតហើយចម្លើយនៃសមីការគឺជាគុណនៃចម្លើយទាំងពីរ

ដោះស្រាយសមីការ(1.1)

នេះមានន័យថាករណីទី១មិនពិត(មិនអាចប្រើបាន)

ហេតុនេះករណីទី២ក៏មិនពិតដែរ

ដូចនេះករណីទី៣ជាករណីពិត(អាចប្រើបាន) ហើយ X(x) = Bsin(nx) គឺជាចម្លើយនៃសមីការ (1.1)

 ដោះស្រាយសមីការ (1.2)

តាមការរៀបរាប់ខាងលើចម្លើយមួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលខាងលើគឺ

ជំហានទី២ :  រកចម្លើយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ចម្លើយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាបន្តុំ(ផលបូក)នៃចម្លើយនីមួយៗពោលគឺ

គណនា b_n

ដោយលក្ខខណ្ឌដើម u(x, 0) = x(π-x)

សមីការនេះគឺជាស៊េរីស៊ីនុស​ Fourier នៃអនុគមន៍ f(x) = x(π-x)

f គឺជាអនុគមន៍សេសដែលចំពោះ -π ≤ x ≤ π  ,ខួបនៃអនុគមន៍គឺ T = 2π , ល្បឿនមុំ ω =2π/T =1

គេបានសមីការ​ (2) អាចសរសេរដូចខាងក្រោម

ចុងក្រោយចម្លើយនៃសមីការឌីផេរ៉ងស្យែលគឺ

ករណីលក្ខខណ្ឌឥតព្រំដែន

ប្រើអាំងតេក្រាល Fourier

សមីការកម្តៅគឺ

យើងនឹងរកចម្លើយទូទៅនៃសមីការកម្តៅក្នុងលំហឥតព្រំដែន(Free Boundary)ពោលគឺ

ដូចករណីលំហកំណត់ជាក់លាក់ដែរ តាមវិធីបំបែកអថេរយើងតាងចម្លើយនៃសមីការដោយ u(x,t) = X(x)T(t)

ដើម្បីឲ្យអនុគមន៍កម្តៅខិតជិតសូនកាលណាពេលវេលាខិតជិតអនន្តពោលគឺ 

លុះត្រាតែ λ < 0

យក λ = -ω² < 0  ដែល ω > 0 នោះចម្លើយទូទៅគឺ

ចម្លើយនៃសមីការ (1.1)គឺ

a(ω) , b(ω) គឺជាអនុគមន៍តម្លៃពិត(Real Valued Function)អាស្រ័យនឹងតម្លៃនៃអថេរ ω ។

សមីការ (1.2) មានចម្លើយដូចខាងក្រោម

ចម្លើយមូលដ្ឋាននៃសមីការកម្តៅគឺ

ដែល A(ω)=T(0)a(ω) , B(ω)=T(0)b(ω)

ចម្លើយទូទៅគឺជាផលបូកចម្លើយមូលដ្ឋានលើលំហឥតព្រំដែនទាំងស្រុង

ដោយ ω ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាននោះគេបាន

ដោយលក្ខខណ្ឌដើម u(x,0) = φ(x)​ គេបាន

នេះគឺជាអាំងតេក្រាល Fourier នៃ φ(x) ដែល

រូបមន្តអាំងតេក្រាល

ដូចនេះចម្លើយទូទៅនៃសមីការកម្តៅគឺ

ប្រើបម្លែង Fourier

សមីការកម្តៅគឺ

យើងនឹងរកចម្លើយទូទៅនៃសមីការកម្តៅក្នុងលំហឥតព្រំដែន(Free Boundary)ពោលគឺ

យ៉ាងណាក៏ដោយអនុគមន៍កម្តៅ u(x,t)គឺជាអនុគមន៍កំណត់ឬអនុគមន៍តម្លៃពិតក្នុងដែនទាំងស្រុងពោលគឹ

ដូចករណីលំហកំណត់ជាក់លាក់ដែរ តាមវិធីបំបែកអថេរយើងតាងចម្លើយនៃសមីការដោយ
u(x,t) = X(x)T(t)

សមីការ (1.1) មានចម្លើយតែក្នុងករណី λ < 0 

យក λ = -ω² < 0  ដែល ω > 0

តាងចម្លើយទូទៅនៃសមីការដោយ

សមីការ (1.2) មានចម្លើយដូចខាងក្រោម

ចម្លើយគោលនៃសមីការគឺ

ដែល ζ(ω) = T(0)A , ζ(ω) = T(0)B , ជាអនុគមន៍តម្លៃពិតដែលយើងនឹងគណនា

ចម្លើយគោលនេះផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការចំពោះគ្រប់ចំនួនថេរវិជ្ជមាន ω​ ។

ចម្លើយទូទៅនៃសមីការគឺជាផលបូកចម្លើយគោលចំពោះគ្រប់ចំនួនថេរ ω ។ ដោយ ω ជាអថេរជាប់នោះផលបូកនេះក្លាយជាអាំងតេក្រាលដូចខាងក្រោម​

 

តាមលក្ខខណ្ឌដើម u(x,0)=φ(x) គេបាន

អង្គខាងស្តាំគឺជាបម្លែង Fourier ច្រាសនៃអនុគមន៍ ζ ដូចនេះ ζ(ω)​ គឺ

ដូចនេះចម្លើយទូទៅនៃសមីការគឺ

 

 

ឯកសារយោង

1. 薩摩順吉，物理の数学，岩波書店, 1995, pp.233-237
2. 武田好史 : 熱方程式，Fourier 級数，Fourier 変換，離散Fourier 変換，, 2014
3. 株式会社ソフトウェアクレイドル HP

https://www.cradle.co.jp/media/column/a210

4. BYJU’S : Physics, Derivation of Physics Formula, Derivation of Heat Equation,

https://byjus.com/physics/derivation-of-heat-equation/

5. 由良忠義：フーリエ解析と偏微分方程式（2006）
6. https://www.se.fukuoka-u.ac.jp/iwayama/teach/kisoIII/2017/chap4.pdf