ចលនានៃរលកដាលក្នុងលំហឯកវិមាត្រ(Oscillation in One Space Dimension) វិធី D’Alembert
ក្នុងលំហឯកវិមាត្រ x ដំណាលនៃរលក u ប្រព្រឹត្តទៅអាស្រ័យនឹងពេល t គឺជាអនុគមន៍ពីរអថេរ u(x,t) ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ទំនាក់ទំនង
ដែលល្បឿនមុំ ω គឺ
c ជាចំនួនថេរណាមួយ , m ជាម៉ាសរូបធាតុ , k ជាមេគុណភាពយឺតនៃសម្ភារៈលំញ័រ។
តាមវិធី D’Alembert ចម្លើយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃរលកគឺ
ដែល f , g ជាអនុគមន៍ពីរផ្សេងគ្នា
បំណកស្រាយវិធី D’Alembert
ចំពោះលំហឥតព្រំដែនចលនារលកឯកវិមាត្រគឺ
តាង ξ = x-ωt , η = x+ωt ក្នុងប្លង់ R2 យើងនឹងប្តូរតម្រុយ (x, t) → (ξ, η)
ច្រាសមកវិញគេបានអញ្ញាតដើម x , t គឺ
អនុគមន៍រលកទៅជា
ដោយ u(x, t) ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរលកខាងលើ ដូចនេះគេបាន
យើងនឹងដោះស្រាយសមីការនេះ
តាមសមីការនេះគេបាន ∂u/∂η = ថេរ មានន័យថាអនុគន៍ដេរីវេនេះមិនអាស្រ័យនឹង ξ ។ ដូចនេះចំពោះអនុគមន៍ដេរីវេ dg(η) នៃអថេរ η គេបាន
អាំងតេក្រាលអង្គទាំងសងខាងគេបាន
ដោយ u(ξ, 0) មិនអាស្រ័យនឹង η ។ តាង u(ξ, 0) = f(x) គេបាន
នេះមានន័យថាចម្លើយនៃសមីការរលកគឺ
ចម្លើយនេះគឺជាផលបូករវាងរលក f ដែលដាលទៅស្តាំ(ដូចរូប)ដោយល្បឿនមុំ ω នឹងរលក g ដែលដាលទៅឆ្វេងដោយល្បឿនមុំ ω ដូចគ្នា។ ចម្លើយនេះហៅថារូបមន្ត D’Alembert ។
ឧទាហរណ៍ ករណីមានលក្ខខណ្ឌដែនជាក់លាក់
ដោះស្រាយសមីការរលកខាងលើចំពោះលក្ខខណ្ឌខាងក្រោម
ចម្លើយគម្រូ
តាមវិធី D’Alembert ចម្លើយនៃសមីការគឺ
លក្ខខណ្ឌដើមនៃបម្លាស់ទីគឺ u(x, 0) = exp(-x2) នាំឲ្យ
អនុគមន៍ល្បឿនគឺ
លក្ខខណ្ឌដើមនៃល្បឿនគឺ ∂u/∂t (x, 0) = 0 នាំឲ្យ
បូកសមីការ (1) & (2) គេបាន
ជំនួស g(x) ក្នុងសមីការ (2) គេបាន
ដូចនេះចម្លើយនៃសមីការរលកគឺ
ដូចនេះចម្លើយនៃសមីការរលកគឺ
ករណី ω=1 គេបាន
ដែលចលនារលកមានទម្រង់ដូចរូបខាងក្រោម។ រលកចាំផ្តើមពីអំព្លីទុតត្រង់គល់តម្រុយហើយដាលទៅទិសទាំងសងខាង(ឆ្វេងស្តាំ)ដោយគម្លាតផាស t ។
សម្រាប់អត្ថបទផ្សេងទៀតទាក់ទងនឹងលំយោលសូមចូលទៅកាន់👇
