សញ្ញាណវ៉ិចទ័រនិងលក្ខណគ្រឺះនានា

*កំណត់ចំណាំ : មានរបៀបពីរយ៉ាងដើម្បីសរសេរវ៉ិចទ័រ។ គេអាចប្រើសញ្ញាព្រួញ​​ ឬអក្សរដិត។ឧទាហរណ៍ដូចជា

ក្នុងវែបសាយនេះយើងប្រើប្រាស់ទាំងពីរទម្រង់។ សញ្ញាព្រួញសម្រាប់សមីការ ឬរូបមន្តវែងៗ​ រីឯនិមិត្តសញ្ញាគណិតវិទ្យាខ្លីៗដែលមាននៅក្នុងអត្ថបទឬល្បះសម្រាប់ពន្យល់យើងប្រើអក្សរដិតវិញ។

ដែនស្កាលែ​ និងដែនវ៉ិចទ័រ Scalar field and Vector Field

ពត៌មានឬបាតុភូតរូបវិទ្យាត្រូវបានបកស្រាយដោយទំហំ(បរិមាណ)ពីរប្រភេទគឺទំហំស្កាលែ (Scalar Quantity) និងទំហំវ៉ិចទ័រ(Vector Quantity) ។ ទំហំស្កាលែជាទំហំដែលមានតែបរិមាណដូចជា ម៉ាស សីតុណ្ហភាព សម្ពាធ ពេលវេលាជាដើម។ ទំហំវ៉ិចទ័រគឺជាទំហំដែលមានទាំងបរិមាណនិងទិសដៅដូចជា កម្លាំង ល្បឿន បរិមាណចលនា ដែនទំនាញដី ដែនម៉ាញ៉េទិចជាដើម។

លំហដែលមានទំហំស្កាលែអាស្រ័យនឹងទីតាំងហៅថាដែនស្កាលែ។ ឧទាហរណ៍ដូចជាសីតុ-ណ្ហភាពនៃតំបន់មួយ(រូបភាពទី១)ប្រែប្រួលតាមទីតាំងកំណត់ជាក់លាក់។ តំបន់សីតុណ្ហភាពឬលំហសីតុណ្ហភាពនេះជាដែនស្កាលែមួយ។ ចំណែកឯលំហដែលមានទំហំវ៉ិចទ័រអាស្រ័យនឹងទីតាំងហៅថាដែនវ៉ិចទ័រ។ ឧទាហរណ៍ដូចជាល្បឿនខ្យល់(រូបភាពទី២)នៃតំបន់មួយប្រែប្រួលទាំងទិសនិងទំហំអាស្រ័យទៅលើទីតាំងកំណត់ជាក់លាក់។ តំបន់ល្បឿនខ្យល់ ឬលំហល្បឿនខ្យល់នេះគឺជាដែនវ៉ិចទ័រមួយ។

ដោយឡែក ទំហំស្កាលែមានច្រើនវិមាត្រអាស្រ័យទៅលើបរិបទនៃការសិក្សា។ ឧទាហរណ៍ដូចជាអនុគមន៍ y = f(x) គឺជាដែនស្កាលែឯកវិមាត្រ(one dimensional scalar field)ព្រោះអថេរសម្រាប់កំណត់តម្លៃអនុគន៍មានតែមួយ។ ដូចគ្នាដែរ f(x,y ) គឺជាដែនស្កាលែទ្វេវិមាត្រ (two dimensional scalar field) ហើយ f(x,y,z) គឺជាដែនស្កាលែត្រីវិមាត្រ(three dimensional scalar field)។

ធាតុរបស់វ៉ិចទ័រមានបីគឺចំណុចចាប់(គល់) ចុង និងណមឬប្រវែង។ ចំណុចចាប់និងចុងកំណត់ទិសដៅរបស់វ៉ិចទ័រ។ ដូចនេះយើងអាចនិយាយបានថាទំហំវ៉ិចទ័រផ្សំឡើងដោយទិសដៅ និងណមរបស់វា។ នៅក្នុងរូបវិទ្យាយើងសិក្សាចលនារបស់រូបធាតុក្នុងលំហត្រីវិមាត្រដែលមានអ័ក្សបីកែងតរៀងគ្នា។ តម្រុយទាំងនេះមានច្រើនប្រភេទអាស្រ័យនឹងប្រធានបទនៃការសិក្សាដូចជា តម្រុយដេកាត តម្រុយស៊ីឡាំង តម្រុយស្វ៊ែជាដើម។ ដោយហេតុថាខ្លឹមសារនៃជំពូកនេះគឺជាការសិក្សាវិភាគលើលក្ខណៈទូទៅនៃវ៉ិចទ័រ ហើយដើម្បីសម្រួលក្នុងការសិក្សា វ៉ិចទ័រក្នុងមេរៀននេះគឺជាវ៉ិចទ័រត្រីវិមាត្រក្នុងតម្រុយដេកាត(Cartesian Coordinate System) R=OXYZ។ រីឯតម្រុយផ្សេងទៀតយើងនឹងសិក្សាក្នុងជំពូកបន្ទាប់។

រូបភាពទី១ ផែនទីសីតុណ្ហភាពពិភពលោកឆ្នាំ២០១៩

រូបភាពទី២ ចរន្តខ្យល់នៅប្រទេសជប៉ុនក្រោមឥទ្ធិពលនៃព្យុះទីហ្វុង(២០១៩)

ទីតាំងនៃចំណុចរូបធាតុក្នុងលំហ​តម្រុយនឹង

ជាទូទៅទីតាំងរបស់រូបធាតុក្នុងលំហសិក្សាត្រូវបានកំណត់ដោយវ៉ិចទ័រទីតាំង R ណាមួយដែល

ពិជគណិតនៃវ៉ិចទ័រ

ប្រមាណវិធីលើវ៉ិចទ័រ

ចំណាំ៖ ទំហំ និងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រមិនប្រែប្រួលទេក្នុងពេលរំកិលវានៅលើប្លង់ដដែល។ ដំណើររំកិលនេះហៅថាបម្លែងកិល។

ភាពមិនអាស្រ័យលីនែអ៊ែ

ជាទូទៅចំពោះវ៉ិចទ័រ n វិមាត្រ​ (R_i)_{i = 1;n} ∈ Rⁿ និង​ λ_i ∈ R បង្គុំលីនែអ៊ែ(Linear Combination) ស្មើរសូន្យពោលគឺ

ប្រសិនបើ​ ∀λ_i = 0 នោះគេថា​ R_i ជាវ៉ិទ័រអាស្រ័យលីនែអ៊ែ​ហើយគេមិនអាចកំណត់សំណុំវ៉ិចទ័រ​ R_i ដោយទំនាក់ទំនងលីនែអ៊ែបានទេពោលគឺ​ R_i មិនស្ថិតក្នុងប្លង់តែមួយ។​

ប្រសិនបើ​ ∃λ_i ≠ 0 នោះគេថា​ R_i ជាវ៉ិចទ័រអាស្រ័យលីនែអ៊ែ(Linear dependence) ហើយគេអាចកំណត់សំណុំវ៉ិចទ័រ​ R_i ដោយទំនាក់ទំនងលីនែអ៊ែបាន ពោលគឺសំណុំវ៉ិចទ័រ R_i ស្ថិតក្នុងប្លង់តែមួយ។​​

ឧទាហរណ៍ទី២ សិក្សាភាពមិនអាស្រ័យលីនែអ៊ែនៃបីវ៉ិចទ័រខាងក្រោម

ឧទាហរណ៍ទី៣ ដូចឧទាហរណ៍ទី១ដែរ តែយើងជំនួសវ៉ិចទ័រទីតាំង R_3​ដោយ R₃‘=(3, 8, 4)

បំលែងម៉ាទ្រីសមេគុណតាម Gaussian Elimination

ក្នុងប្លង់តែមួយវ៉ិចទ័រទាំងបីមានទំនាក់ទំនងធរណីមាត្រដូចរូបខាងក្រោម

ឧទាហរណ៍ទី៤ ភាពមិនអាស្រ័យលីនែអ៊ែនៃវ៉ិចទ័រឯកតា i =(1, 0, 0)​​​ j = (0, 1, 0)  k = (0, 0, 1)

ដូចនេះ i, j, k ជាបីវ៉ិចទ័រមិនអាស្រ័យលីនែអ៊ែមានន័យថាវ៉ីចទ័រឯកតាទាំងបីមិនស្ថិតក្នុងប្លង់តែមួយនោះទេ។

ជាទូទៅសំណុំវ៉ិចទ័រឯកតានៃប្រព័ន្ធតម្រុយកូអរដោណេណាមួយគឺជាវ៉ិចទ័រមិនអាស្រ័យលីនែអ៊ែ។

សមីការបន្ទាត់(Equation of Line)

យើងនឹងកំណត់សមីការបន្ទាត់ (L) នៃសំណុំចំណុច R (x, y, z) កាត់តាមចំណុចនឹង R_o(x_o, y_o, z_o)មានវ៉ិចទ័រប្រាប់ទិស​ u = (a, b, c)

​ ​ដូចនេះសមីការបន្ទាត់គឺ

សមីការប៉ារ៉ាមែត

សមីការទូទៅ

ផលគុណស្កាលែ (Scalar product or Dot product)

ចំពោះ

គេបានផលគុណស្កាលែនៃពីរវ៉ិចទ័រ A និង​ B​ កំណត់ដោយ

សមីការប្លង់(Equation of Plane)

​​ យើងនឹងកំនត់សមីការប្លង់ (P) នៃសំណុំចំណុច M(x, y, z) កាត់តាមចំណុចនឹង M_o(x_o, y_o, z_o) មានវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់ n = (a, b, c)។​

ដូចនេះសមីការប្លង់គឺ

ចម្ងាយពីចំណុចនឹងទៅប្លង់

ដូចបង្ហាញក្នុងរូប ចម្ងាយពីចំណុចនឹង​ M₁(x₁, y₁, z₁) នាមួយទៅនឹងប្លង់គឺជាចំណោលកែងនៃវ៉ិចទ័រ MM₁លើវ៉ិចទ័រណរម៉ាល់​ n = (a, b, c)

ផលគុណវ៉ិចទ័រ(Vector Product or Cross Product)

ចម្ងាយពីចំណុចទៅបន្ទាត់

គណនាក្រលាផ្ទៃ

ផលគុណចម្រុះ( Scalar Triple Product)

គណនាមាឌសូលីដ

មាឌប្រលេពីប៉ែត

មាឌចតុមុខ